Analysis Band by Behrends

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Nun sei Φ beschr¨ ankt und gleichgradig stetig. Wir behaupten, dass auch Φ− diese Eigenschaften hat. Beschr¨anktheit: Es gibt nach Voraussetzung ein R, so dass Φ in der abgeschlossenen Kugel um die Nullfunktion mit dem Radius R liegt. Dann muss – wegen der Abgeschlossenheit der Kugel – aber auch Φ− darin liegen. Gleichgradige Stetigkeit: Seien x0 ∈ K und ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es nach Voraussetzung ein δ > 0, so dass |f (x) − f (x0 )| ≤ ε, falls d(x, x0 ) ≤ δ und f ∈ Φ. 9 eingef¨ uhrt. Wenn Φ− kompakt ist, wird Φ auch relativ kompakt genannt.

Fixpunkts¨ atze Ein Fixpunktsatz ist ein Ergebnis der Form: Hat M die Eigenschaft E und f die Eigenschaft E ′ , so gibt es einen Fixpunkt, manchmal ist dieser sogar eindeutig bestimmt. Um ein derartiges Ergebnis auf ein mathematisches Problem anwenden zu k¨ onnen, muss letzteres erst einmal als Fixpunktproblem umgeschrieben werden. 4 von der inversen Abbildung. 16) Banach begr¨ undete die Funktionalanalysis, in dieser Theorie werden normierte R¨ aume und die darauf definierten Abbildungen systematisch untersucht.

Bemerkungen: 1. Der Satz wurde unter drei Voraussetzungen gezeigt: M ist vollst¨andig; die (Kn ) bilden eine absteigende Folge; die Folge (rn ) konvergiert gegen Null. Alle drei sind wesentlich: • Die Vollst¨andigkeit von M : Im metrischen Raum ] 0, 3 [ betrachten wir ur n = 1, 2, . . Dann ist Kn := Krn (xn ) = ] 0, 2/n ]. xn := rn := 1/n f¨ Es gilt zwar rn → 0 und K1 ⊃ K2 · · · , aber Kn = ∅. • Die Kugeln m¨ ussen absteigen: Das ist eine offensichtliche Voraussetzung, man k¨ onnte als Gegenbeispiel etwa Kn := K1/n (n) in R betrachten; der Raum ist vollst¨ andig, es gilt rn = 1/n → 0, und trotzdem ist wieder Kn = ∅.

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